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圖2-1  質量守恒的微元體

將質量守恒定律應用到高溫流體流動中（如圖2-1）所示，即得連續性方程：

在不穩定流動時，流入的流體質量與流出的流體質量之差應等于封閉空間中流體質量的變化；而在穩定流動時則流入流體質量必然等于流出的流體質量，其數學表達式即為連續性方程。在直角坐標系中

不穩定流動時

（2-1）

穩定流動時，則

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

用ρu的散度divpu或 pu表示上式左邊的三項之和則，

div u=▽·u=0

在柱坐標系中

不穩定流動時

（2-2）

穩定流動時

（2-2a）

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

（2-2b）

直角坐標和柱坐標之間的換算公式如下：

（2-3）

連續性方程表示了流體運動時，其速度與密度之間的關系。

二、能量方程

根據能量守恒定律、加到流體中的熱能q和壓力所作的功之和，等于流體對外所作的機械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以及動能，位能（gZ2-gZ1）和內能增量cu（T2-T1）之和。能量方程的數學表達式則為

（2-4）

其微分形式為

（2-4a）

式中，而

兩者之和為（i2-i1）

三、粘性流體運動方程

根據牛頓第二定律，考慮到流體的粘性剪切力即可得不可壓縮粘性流體運動微分方程式，該式又稱為納維—斯托克斯方程，簡稱N-S方程，這是流體動力學基本方程之一，在直角坐標系中表示為（見圖2-2）。

（2-5）

方程組中左邊*項為單位質量力；左邊第二項為壓力，第三項為摩擦力，合稱為表面力；右邊為慣性力。

在柱坐標系中則表示為

（2-）

圖2-2  粘性流體運動分析

式中一直角坐標拉普拉斯算子

一柱坐標用拉普拉斯算子；

一歐拉系數。

對于可壓縮流體，考慮氣體的可壓縮性、N-S方程具有下列形式：對于直角坐標為

（2-6）

對于柱坐標系則表示為：

（2-6a）

N-S方程是粘性流體zui一般性的方程。加上連續性方程共有四個方程式，當邊界條件和初始條件確定后，原則上可求解不可壓縮粘性流體運動問題中的四個未知數ux、uy、uz和p。許多層流問題，如園管層流、平行平面間層流、同心園環間層流都可以用N-S方程求出解，而且流體潤滑問題也可用N-S方程求近似解。